Théorie des ensembles
Unité d'enseignement optionnelle de la licence de mathématiques (3 ECTS)
Année 2013-2014
- Bref plan du cours :
- Axiomatisation de l'arithmétique (axiomes de Peano)
- Théorie des ensembles (axiomes de Zermelo)
- Cardinalité
- Axiome du choix et lemme de Zorn
- semaine 1 : 21/01/14
- Introduction ; axiomatisation de l'arithmétique,
(Dedekind 1888, Peano 1889) : les axiomes de Peano.
-
Définition par récurrence simple (existence provisoirement
admise) ; définition par récurrence avec paramètre (existence
et unicité déduites de la précédente) ; addition,
multiplication, exponentielle.
Définitions par récurrence avec paramètre,
dépendant de l'argument (existence et unicité démontrées à
partir de la définition par récurrence simple).
- À faire : exercices 4 et 5 du polycopié « Axiomatisation de l'arithmétique » (voir bibliographie), page 5.
- semaine 2 : 28/01/14
- Ordre large,
et ordre strict ; ordre total
-
Ordre sur les entiers, définition et propriétés.
- Première feuille
de TD (exercices 1 et 2 faits, à faire : terminer les démonstrations des propriétés de l'ordre, et exercices 3, 7, 8, 9, 10).
- semaine 3 : 4/02/14
- ordre sur les entiers et addition ;
récurrences à partir d'un certain rang ; récurrence bien fondée ;
bon ordre; un ordre total est un bon ordre si et seulement s'il vérifie la propriété de récurrence bien fondée. Relation successeur pour l'ordre.
- Suite au problème de salle de ce jour les cours suivant auront lien à la halle à la farine, en salle 375F le 11/02, en 411B le 18/02.
- semaine 4 : 11/02/14
- Exercices sur les ordres et bons ordres.
- semaine 5 : 18/02/14
- Attention : le cours a lieu en salle 411 B, halle à la farine. !
-
Théorie des ensembles : le paradoxe de Berry et le paradoxe de Russell ;
les premiers axiomes de Zermelo, extensionnalité,
compréhension restreinte, paire, ensemble des parties ; codage
des couples.
- Seconde feuille de TD.
- Premier test (récurrence, bon ordre).
- semaine 6 : 25/02/14
- Le cours aura lieu en salle
2012, bâtiment Sophie Germain, à partir du 25/02 et
jusqu'à la fin du semestre.
-
Théorie des ensembles : axiome de la réunion ; axiome de l'ensemble des
parties ; produits cartésiens, relations binaires, fonctions, familles
...
- Le partiel aura lieu le lundi 17 mars de 14h à 16h en salle 419C, halle à la farine.
- semaine 7 : 4/03/14
- Axiome de l'infini : introduction, entiers de von Neumann ; l'ensemble des entiers de von Neumann, avec 0 = ∅ et pour successeur s :x ↦ x ∪ {x}, satisfait les axiomes de Peano, pris relativement à la théorie des ensembles, c'est-à-dire que la propriété de récurrence est satisfaite pour les propriétés énoncées dansle langage de
la théorie des ensembles (fait pour la récurrence, et tout successeur et non vide, exercice pour l'injectivité du successeur (montrer 1/ que l'appartenance définit un ordre strict sur les entiers de von Neumann, 2/ que l'ordre large associé est l'inclusion 3/ que cet ordre est total 4/ que l'opération successeur est strictement croissante sur l'ensemble des entiers).
- semaine 8 : 11/03/14
- Restreinte aux entiers de von
Neumann, l'appartenance est un ordre total strict
dont l'ordre large associé est l'inclusion ; la fonction successeur est strictement croissante, et donc
injective pour cet ordre (correction de l'exercice).
- système de Peano ;
démonstration du principe de définition par récurrence (pour un système
de Peano) ; deux systèmes de Peano sont isomorphes.
- Partiel le lundi 17 mars 2013, salle 1021,
16h30-18h30 ; au programme tout ce qui a été vu en cours, y
compris les entiers de von Neumann.
- semaine 9 : 18/03/14
- Cardinalité finie : définition de fini (en bijection avec
un entier) ; unicité du cardinal d'un ensemble fini ;tout
sous-ensemble d'un ensemble fini est fini et de cardinalité
inférieure ou égale à l'ensemble de départ ; principe des
tiroirs de Dirichlet ; cardinalité finie et opérations
ensemblistes ; ensembles dénombrables (en bijection avec
N).
- Équipotence (en bijection), subpotence (injection),
comparaison de cardinaux (comme façon de parler de
l'équipotence et de la subpotence) ; dénombrable (en bijection
avec N)
- Raisonnement diagonal ;
{0,1}N et R ne
sont pas dénombrables ; théorème de Cantor : un ensemble n'est
pas en bijection avec son ensemble de parties.
- Feuille d'exercice 3 (cardinalité).
- semaine 10 : 25/03/14
- Tout sous-ensemble de N est fini ou en bijection
avec N.
- Théorème de Cantor-Bernstein.
- La réunion et le produit cartésien de deux ensembles dénombrables osnt dénombrables.
- Quelques exemples de compatibilité des opérations ensemblistes avec l'équipotence, Exercices.
- Test sur la cardinalité le 1/04.
- semaine 11 : 1/04/14
- Cardinalité et opérations ensemblistes : union disjointe, produit
cartésien, ensemble des fonctions de A dans B, ensemble des parties.
- Exercices sur la cardinalité.
- Fonction de choix et plusieurs énoncés de l'axiome du choix ; un
ensemble qui n'est pas fini contient un ensemble dénombrable ; une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable ;
axiome du choix dénombrable et axiome du choix
dépendant.
- semaine 12 : 8/04/14
- Ordre partiel, chaîne, élément maximal ; Lemme de Zorn : énoncé ; application à la comparabilité
cardinale ; théorème de Zermelo ; autres applications évoquées : théorème de l'idéal maximal, une base est un système libre maximal et théorème de la base incomplète).
- Démonstration du lemme de Zorn (polycopié).
- Examen terminal prévu le mardi 13 mai, 8h30-11h30 salle 1021 (à
confirmer, ce sont les informations de la scolarité L3-M1, et
celles du site de
l'ufr qui feront foi).
Bibliographie
Théorie des ensembles
- Début du cours : polycopié Axiomatisation de l'arithmétique (Axiomes de Peano).
-
J.L. Krivine, Logique et Théories
Axiomatiques (LTA), cours polycopié, Université de
Paris 7, vous pouvez accéder en ligne à une transcription de la
première partie consacrée à la théorie des ensembles,
Éléments de théorie des ensembles.
- P. Halmos, Naive set theory paru en
1960, traduit en Français sous le titre :
Introduction à la théorie des ensembles
en 1967 chez Gauthier-Villars (réimpression chez Jacques
Gabay 1997).
(dernière modification le mardi 29/04/2014, 16:55:17 CEST)