2ème semestre
P Rozière
SOMMAIRE DU COURS
Ce cours veut avant tout permettre aux étudiants de maîtriser le langage mathématique et les outils de base que sont la théorie des ensembles (opérations ensemblistes, cardinalité) et les règles du raisonnement.
Le cours comportera des séances d'utilisation d'un logiciel de démonstration interactive sur ordinateur. Le but est d'illustrer la formalisation de théories et de preuves mathématiques. Aucune connaissance informatique préalable n'est nécessaire.
Objets, énoncés ; constantes, variables, fonctions, relations ; occurrences libres et liées d'une variable, opérateurs lieurs.
Structure et théorie.
Preuves, exemples de règles de déduction.
Connecteurs, tautologies, équivalences, formes normales, systèmes complets.
Formules propositionnelles, valuations, validité, conséquence ; théorèmes de complétude et de compacité. Application du théorème de compacité.
Quantificateurs, règles d'usage des quantificateurs.
Langage du premier ordre, formules, interprétation dans une structure, expression de propriétés mathématiques.
Modèles, validité, conséquence.
Si le temps le permet : théorème de complétude, théorème de Löwenheim-Skolem, théorème de compacité et applications.
Les paradoxes de la théorie des ensembles, l'axiomatique de Zermelo.
Opérations ensemblistes usuelles, fonctions et relations, familles d'ensembles.
Les entiers et le principe d'induction.
Ensembles finis, dénombrables, R n'est pas dénombrable.
Cardinalité, théorème de Cantor, théorème de Cantor-Bernstein.
Puissance du continu, R, P(N).
Axiome du choix.
J.L Krivine, Logique et Théories Axiomatiques (LTA), cours polycopié, Université de Paris 7.