Les automates à pile de pile (de pile...) sont une extension des automates à pile avec une nouvelle opération de copie de la pile supérieure. Ils définissent des graphes infinis pour lesquels la logique monadique du second ordre est décidable. Ces graphes définissent aussi de façon naturelle des jeux à deux joueurs, à information complète, avec une condition de parité. Pour résoudre ces jeux on montre qu'ils sont équivalents à des jeux de model checking sur les graphes de la hiérarchie de Caucal. Dans cette hiérarchie on peux se ramener à des graphes de niveau inférieur, ce qui fournit une solution effective et une construction des stratégies gagnantes.