28/06/2001: Jean-Eric Pin (CNRS,LIAFA)
Caractérisations équationnelles de structures finies:
de Birkhoff à Reiterman.
Résumé
Le but de cet exposé est de présenter deux résultats. Le
premier, dû à Birkhoff, est bien connu. Il énonce que les
structures algébriques fermées par passage aux sous-structures,
par quotient et par produit direct (appelées variétés) sont
exactement celles qui sont définissables par un ensemble d'identités.
Par exemple, la variété des semigroupes (resp. groupes,
anneaux, etc.) commutatifs est définie par l'identité xy = yx.
Le second résultat, démontré par Reiterman en 1982, est beaucoup
moins connu. Ce théorème est tout à fait analogue à celui
de Birkhoff, mais s'applique cette fois aux structures algébriques
finies. La définition des variétés est pratiquement inchangée:
on se contente cette fois des produits directs finis, ce qui n'a
rien de surprenant.
La caractérisation par identités nécessite par contre des
développements inattendus, qui illustrent bien le propos de
Marshall Stone: 'A cardinal principle of modern mathematical
research may be stated as a maxim: ``One must always topologize'' '.
On évoquera ensuite brièvement les extensions de ces deux résultats
aux structures ordonnées et plus généralement aux structures du
premier ordre.