28/06/2001: Jean-Eric Pin (CNRS,LIAFA)
Caract�risations �quationnelles de structures finies: de Birkhoff � Reiterman.

Résumé
Le but de cet expos� est de pr�senter deux r�sultats. Le premier, d� � Birkhoff, est bien connu. Il �nonce que les structures alg�briques ferm�es par passage aux sous-structures, par quotient et par produit direct (appel�es vari�t�s) sont exactement celles qui sont d�finissables par un ensemble d'identit�s. Par exemple, la vari�t� des semigroupes (resp. groupes, anneaux, etc.) commutatifs est d�finie par l'identit� xy = yx. Le second r�sultat, d�montr� par Reiterman en 1982, est beaucoup moins connu. Ce th�or�me est tout � fait analogue � celui de Birkhoff, mais s'applique cette fois aux structures alg�briques finies. La d�finition des vari�t�s est pratiquement inchang�e: on se contente cette fois des produits directs finis, ce qui n'a rien de surprenant.
La caract�risation par identit�s n�cessite par contre des d�veloppements inattendus, qui illustrent bien le propos de Marshall Stone: 'A cardinal principle of modern mathematical research may be stated as a maxim: ``One must always topologize'' '. On �voquera ensuite bri�vement les extensions de ces deux r�sultats aux structures ordonn�es et plus g�n�ralement aux structures du premier ordre.